기하학(幾何學) :
[수학] 공간의 성질과 공간 안의 물체에 대한 성질을 연구하는 수학의 한 분야.
수학의 가장 오래된 분야 가운데 하나로, 고대 이집트와 메소포타미아의 토지 측량을 위한 도형의 연구에서 유래되었다. 고대 그리스의 에우클레이데스에 의해 유클리드 기하학으로 체계화되었다.
- 출처 : DAUM 사전. 

기하(幾何) :
(1) 잘 모르는 수효나 분량, 정도 따위를 물을 때 쓰는 말.

(2) [수학] 도형 및 그것이 차지하는 공간의 성질에 대하여 연구하는 분야. 원어  기하학 (幾何學)

기하급수(幾何級數) :
[수학] 서로 이웃하는 항의 비(比)가 일정한 급수. 각 항이 그 앞의 항에 일정한 수를 곱한 것으로 이루어진다.

기하급수적 (幾何級數的) : 

[명사] I. 어떤 사물이 항상 이전 수량의 몇 배로 증가하는 경향이 있는 것.

geometry : 

[Noun] I. the pure mathematics of points and lines and curves and surfaces
- 출처 : DAUM 사전 

고대 이집트인과 바빌로니아인, 인도인은 사물을 있는 그대로 바라보았다. 그들의 수학은 '어떠한가'만 얘기할 뿐, '왜 그런가'에 대해서는 생각하지 않았다. 그러나 그리스인들은 어떤 사물이든 그것의근원을 파헤치고 증거를 찾으려고 했다. 이런 진리를 추구하는 정신에 힘입어 그들은 수학 증명 분야에서 큰 발전을 이룩했고 세계 문화 발전에 크게 기여했다. 
- 수학의 역사. 제2장 그리스 수학의 번영. 28쪽 발췌. 

토지를 측량하는 기술이 기하학의 발전을 가져오다. 

이집트의 나일 강이 정기적으로 범람하자 토지의 경계가 사라지는 일이 자주 발생했다. 그래서 강무링 빠질 때마다 사람들은 토지의 넓이를 새로 측정했는데, 이 과정에서 '기하학' 지식이 생겨났다.
역사학의 아버지 헤로도토스는 다음과 같이 기록했다.

만약 어떤 사람이 소유한 토지 일부가 강물에 휩쓸려 가면 국왕은 그곳에 사람을 보내 조사를 실시한다. 그리고 측량을 거쳐 유실된 면적을 정확히 계산해낸다. ...(중략) 나는 이집트인들이 이런 과정을 통해 기하학을 이해하게 되었고 후대에 이를 그리스에게 전해주었다고 생각한다. 

원주각 (圓周角) : 원주 위의 한 점에서 그은 두 개의 현이 이루는 각 

영어 : the angle at the circumference 

원둘레 (圓－) : 수학 circumference; the circumference of a circle.

circumference : 

【명사】1. [불][가] 외주(外周), 원주, 주위, 주변; 그 길이[거리]

2. [불] 둘레 안의 면적, 범위.

circumference : 

[Noun] I. the size of something as given by the distance around it

II. the boundary line encompassing an area or object

그는 제자를 두 부류로 나누었다. 한 부류는 수업만 듣고 토론에는 참석하지 않는 일반 학생(아쿠스마틱스)으로, 그들에게는 심오한 지식을 전수하지 않았다. 또 다른 부류는 그리스어로 '마테마티코이'라 부르며 피타고라스 학파의 진정한 회원이었다. 이 말은 나중에 '수학'을 뜻하는 라틴어 '마테마티카(mathematica)'로 발전했다. 
- 수학의 역사. 제2장 그리스 수학의 번영. 32쪽 발췌. 

피타고라스가 주장한 '만물은 모두 수' 라는 표현에서 '수'란 정수 또는 정수로 표시할 수 있는 비율의 수, 즉 유리수를 가리킨다. 그러나 이 신념은 루트2(√2) 때문에 문제가 생겼다. 왜냐하면 루트2가 두 정수의 비, 즉 루트2 = n/m ( n, m 은 서로소인 정수 ) 이라고 한다면 2m²=n² 이므로 n²은 짝수가 된다. n² 이 짝수이면 n 도 짝수이므로 m² 도 짝수가 된다. 이렇게 되면 n 과 m 이 서로소인 정수라는 가정에 모순된다. 이런 모순은 피타고라스 학파에게 큰 도전이었다. 

일설에 의하면 피타고라스의 제자 히파수스(Hippasus)가 이 '비밀'을 알게 되었다. 그러자 피타고라스 추종자는 이 비밀을 지키기 위해 배를 타고 가던 중 그를 바다에 빠뜨려 살해했다고 한다. 중학교 교과서에 나오는 '무리수'에 이런 비극적 일화가 숨어 있으리라고는 아무도 상상하지 못했을 것이다. 하지만 '무리수'는 '이치에 안 맞는 수'가 아니라 '비교할 수 없는 수(irrational number)'이다.

- 수학의 역사. 제2장 그리스 수학의 번영. 36쪽 발췌.

유클리드는 먼저 일부 익숙한 기하학적 대상에 대해 정의를 내렸다. 어떤 기하학적 대상이든 명확한 정의가 있어야만 각기 다르게 해석되는 현상을 방지할 수 있고 또 모든 사람이 해당 전문 용어를 동일하게 인식할 수 있기 때문이다. 따라서 기하학에서 정의는 절대적으로 필요하다. 정의가 있어야만 가장 기본적인 몇몇 명제를 '원시명제'로 사용할 수 있다. 

원시명제는 의심의 여지 없이 정확하며 모두에게 받아들여질 수 있기 때문에 '공리(公理, axiom)' 또는 '공준(公準, postulate)'이라고도 한다. 이들 정의와 공리, 공준에서 출발하여 논리적 추론과 연역을 통해 전체 기하학을 발전시켜나갈 수 있다. 

바로 이런 사고에 기초하여 유클리드는 그의 위대한 사업, <기하학 원론(Element)>의 편찬 작업을 시작했다. 그리고 잠 못 이루는 밤과 헤아릴 수 없는 역경을 이겨내며 드디어 편찬에 성공했다.

- 수학의 역사. 그리스 수학의 번영. 40쪽 발췌.